Математический анализ — задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткий курс теории по предмету «математический анализ», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «математический анализ».

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят дифференциальное и интегральное исчисление теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов векторный анализ.

Понятия предмета «математический анализ» зависит от того, в какой ситуации оно употребляется. В школьном учебнике математики говорится, что математический анализ — это «часть математики, которая изучает дифференциальное и интегральное исчисление». Авторитетный общероссийский (а еще недавно общесоюзный) реферативный журнал «РЖ математика» относит к математическому анализу , кроме того, теорию функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, функциональный анализ и ряд других разделов.

Само словосочетание «математический анализ» несет в себе очень мало информации — сюда при желании можно было бы отнести, например, и аналитическую геометрию, и математическую логику. С другой стороны, интегральное исчисление можно было бы назвать не анализом, а синтезом. Впрочем, подобным образом нетрудно раскритиковать громадное число терминов, и не только математических. Попробуем все же установить, что в современной математике выделяется термином математический анализ.

Думаю, главной особенностью математического анализа в сравнении с другими областями математики является метод предельного перехода и связанный с этим аппроксимативный подход (т.е. использование приближенных выражений, допускающих любую степень точности). Недаром греческая буква (эпсилон) — точность аппроксимации — занимает такое почетное место в математическом анализе. Имея это в виду, попробуем дать короткое и, разумеется, не исчерпывающее, определение: математический анализ — это раздел математики, изучающий и применяющий (очень разнообразно применяющий) понятие предела.

Комплексные числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где ;

— переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют действительных корней, например:

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому множеству символ , такой что ( называется мнимой единицей). Тогда ± — два корня уравнения .

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество .

Суммой двух комплексных чисел называется число

Произведением двух комплексных чисел называется число

Для числа число а называется действительной частью, число b — мнимой частью. Обозначения:

Относительно операций «+» и « • » комплексные числа С обладают такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции: вычитание и деление (кроме деления на 0).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Задачи с решением:

Задача №1.1

Найти .

Решение:

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2) имеет решение во множестве С.

Задача №1.2

Решить уравнение

Решение:

Определение 1.3. Для комплексного числа число называется комплексно-сопряженным, число называется модулем

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат и на оси отложить — действительную часть , а на оси — мнимую часть , то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом — длина радиуса-вектора точки .

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа называется угол , который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Аргумент будем обозначать . Аргумент определен с точностью до . При этом значение называется главным и обозначается .

Замечание.

При этом

Если — аргумент , to представляется в виде

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть .

Тогда

Доказательство

Из формул (1.5) следует, в частности, что

— формула Муавра.

Задача №1.3

. Представить числа в тригонометрической форме.

Решение:

четверти,

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда .

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент (р комплексного числа z при умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель степени. Обозначим

— формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для можно переписать в виде -показательная форма комплексного числа.

Задача №1.4

Вычислить

Решение:

Согласно задаче 1.3

Поэтому

Определение 1.5. Корнем -й степени из числа называется такое число , что , при этом обозначается Таким образом

Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа , при этом, если , то

Задача №1.5

Найти .

Решение:

, тогда по формуле (1.9)

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть — множества произвольной природы и каждому элементу поставлен в соответствие некоторый элемент . Такое соответствие называется функцией. Обозначим его или При этом множество называется областью определения функции , а множество называется областью значений функции , рис. 2.1.

Задачи с решением:

Задача №2.1

— множество всех неотрицательных чисел из R.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция . При этом числа из области значений обозначаются: . Число называется -м членом последовательности.

Для задания последовательности достаточно задать .

Задача №2.2

. Подставив ,… получим

Определение 2.3. Число а называется пределом числовой последовательности , если существует число такое что выполняется неравенство . Более коротко будем записывать это определение в виде

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела — расходящимися.

Задача №2.3

Доказать, что .

Доказательство

Пусть . Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

Пусть — натуральное число, большее , например тогда удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.

Геометрически равенство означает, что все члены последовательности , начиная с номера , попадают в -окрестность точки (рис. 2.2).

Например, для последовательности из задачи 2.3, если

Определение 2.4. Последовательность называется ограниченной, если , такое что .

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости последовательности).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство

Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последовательности после номера лежат в интервале , далее доказательство очевидно.

Определение 2.5. Последовательность называется бесконечно большой, если .

Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел , и пишут .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть

то пишут .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

то пишут .

Задача №2.4

Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.

Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.

Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются монотонными.

Задача №2.5

1. . При имеем

— возрастающая последовательность.

2. Последовательность

последовательных приближений к числу — неубывающая последовательность.

Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Задача №2.6

Рассмотрим последовательность . Она монотонно возрастает и ограничена, следовательно — сходится:

— трансцендентное число, служащее основанием натурального логарифма: .

Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей и будем называть последовательности, -й член которых равен соответственно:

Теорема 2.3. Пусть последовательности сходятся и — постоянное число. Тогда

Доказательство

Докажем, например, формулу Так как последовательность сходится, то она ограничена, то есть число , такое что . Пусть

Так как последовательность сходится, то , такой что при

Так как последовательность сходится, то , такой что при (считаем, что ; если , то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).

Пусть Тогда из (2.3) при следует

что и требовалось доказать.

Определение 2.8. Пусть , тогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть — бесконечно малые последовательности. Тогда называется неопределенностью вида .

Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида .

Задача №2.7

Задача №2.8

Задача №2.9

Задача №2.10

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность — бесконечно малая . Тогда последовательность — бесконечно большая .

б. Пусть последовательность — бесконечно большая , тогда последовательность — бесконечно малая.

Задача №2.11

Теорема 2.5. (о трех последовательностях).

Пусть тогда сходится и .

Определение 2.9. Последовательность имеет предел при , если .

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.

Из определения 2.9 следует, что последовательность — расходящаяся (не имеет предела), если

Пределы функций

Определение 3.1. -окрестностью точки называется множество — рис. 3.1.

Выколотой -окрестностью точки называется множество , рис 3.2.

Левой выколотой -окрестностью точки называется множество , рис. 3.3.

Правой выколотой -окрестностью точки называется множество , рис. 3.4.

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.

Определение 3.2. Число А называется пределом функции при (пишут ), если

такое, что

С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать

Задачи с решением:

Задача №3.1

Рассмотрим функцию

Докажем, что .

Пусть и , тогда , поэтому при соотношение (3.2) будет выполняться.

Определение 3.2 подразумевает, что функция определена в некоторой окрестности точки (или в выколотой окрестности точки ) и называется определением предела функции по Коши.

Определение 3.3 (предел функции по Гейне).

Число А называется пределом функции при , если последовательности такой, что последовательность сходится и .

При этом пишут

Задача №3.2

По Коши записывается в виде

Теорема 3.1. Определения 3.2 и 3.3 эквивалентны.

Определение 3.4. Число А называется левым пределом функции при (пишут или .

если

Число А называется правым пределом функции при , если

Задача №3.3

Рассмотрим функцию сигнум (signum — знак):

Тогда

Теорема 3.2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в выколотой окрестности и

Пусть . Тогда

Доказательство

Пусть , тогда по определению 3.4 такие, что

Поэтому, если , что и требовалось доказать.

Теорема 3.3. Пусть , тогда

Доказательство

Следует из теоремы 2.3. Докажем, например, что .

Пусть — произвольная последовательность, такая что и . Тогда по определению 3.3

далее по теореме 2.3 с учетом определения 3.3 , что и требовалось доказать.

Теорема 3.4. Пусть функции определены в некоторой выколотой окрестности точки . Предположим, что

Тогда

Доказательство легко получается, если использовать определение предела по Гейне и теорему 2.5 о трех последовательностях (доказать самостоятельно)

Определение 3.5. Функция называется бесконечно большой в точке , если такое, что

При этом пишут . Аналогично определяются бесконечно-большие функции при (справа и слева в точке ).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Задача №3.4

Определение 3.6. Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Пусть — две бесконечномалые функции в точке — Тогда называется неопределенностью типа . Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично раскрываются неопределенности типа .

Задача №3.5

Задача №3.6

Пусть ,тогда .

Пусть , тогда .

Задача №3.7

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

Тогда .

Задача №3.8

Задача №3.9

Задача №3.10

Задача №3.11

Определение 3.7. Функция имеет предел при , если такое что , такое что

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.

Из определения 3.7 следует, что функция не имеет предела при , если

удовлетворяющий условию , для которого выполнено условие .

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы

такое что

Из теоремы следует, что функция не имеет предела при , если

Теоремы о пределах

Теорема 4.1.

— первый замечательный предел. (4.1)

Доказательство

Докажем, что . Пусть . Рассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в радиан, рис. 4.1.

Тогда

Так как радиус круга равен 1, то

поэтому

Так как , то по теореме .

Аналогично

(по теореме 3.2).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по математическому анализу — решение задач и заданий на заказ

Задачи с решением:

Задача №4.1

Из (4.1) следует, что

При этом если — бесконечно малая функция при , то

Задача №4.2

Задача №4.3

Задача №4.4

Теорема 4.2.

— второй замечательный предел. (4.2)

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).

Докажем, например, (4.4):

Задача №4.5

Задача №4.6

Задача №4.7

Задача №4.8

Определение 4.1. Пусть — бесконечно малые функции при . Пусть , тогда называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем при . При этом пишут , (о — «о — малое»).

Пусть , тогда — бесконечно малые одного порядка малости при . А если , то и эквивалентные бесконечно малые при . При этом пишут при .

Задача №4.9

Аналогично , . Все эквивалентности при .

Пусть

. Поэтому, согласно задаче 4.9:

Все равенства при .

Теорема 4.3. Пусть при — произвольная функция и пусть , тогда и эти пределы равны.

Действительно,

Задача №4.10

Найти .

Решение:

Тогда, согласно теореме 3.3:

Непрерывность функции

Определение 5.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки непрерывна в точке , если

Функция непрерывна на множестве X если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Задачи с решением:

Задача №5.1

Функция

дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

Задача №5.2

Функции непрерывны .

Функция непрерывна .

Функция непрерывна .

Функция непрерывна ,

непрерывна .

Функция — непрерывна из области ее определения.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Задача №5.3

Рассмотрим функцию Дирихле:

— множество рациональных чисел. Она разрывна .

Определение 5.2. Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если

Задача №5.4

Единичная функция Хевисайда:

непрерывна справа в точке .

Теорема 5.1. Пусть функции непрерывны в точке . Тогда и функции непрерывны в точке . Если — также непрерывны в точке .

Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1.

Определение 5.3. Пусть функция определена на множестве со значениями во множестве и функция определена на множестве со значениями во множестве . Тогда функцию будем называть сложной функцией (композицией функций ), рис. 5.7.

Теорема 5.2. Пусть функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

Задача №5.5

Исследовать на непрерывность функцию

в зависимости от значений .

Решение:

Функция непрерывна (как композиция двух непрерывных функций и (см. теорему 5.2)).

По теореме 5.1 непрерывна . Найдем

Поэтому при функция непрерывна . При разрывна в точке и непрерывна .

Определение 5.4. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Пусть -точка разрыва функции и при этом существуют конечные пределы . Тогда точка называется точкой разрыва 1-го рода функции . При этом называется скачком функции. Если скачок равен 0, то разрыв называется устранимым.

Задача №5.6

Для функции

(см. задача 3.1), точка — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. упражнение 3.4) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. теорему 4.1) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. упражнение 5.2) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. задача 3.3) — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке равен 2.

Для единичной функции Хевисайда (см. задача 5.4) — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке равен 1.

Определение 5.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки х0. Точка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.

Задача №5.7

Для функций (см. задача 3.2) — точка разрыва 2-го рода. Для функции (см. упражнение 3.4) — точка разрыва 2-го рода.

Для функций (см. упражнения 3.7, 3.8) — точка разрыва 2-го рода. Точки — точки разрыва 1-го рода. Разрывы неустранимые.

Для функции (см. упражнение 5.1) — точка разрыва 2-го рода. Для функции Дирихле (см. задачу 5.3) любая точка — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.8

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции , рис. 5.8.

Решение:

Функция — дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: .

Рассмотрим точку .

— точка устранимого разрыва.

Рассмотрим точку .

— точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.9

Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для функции:

Решение:

Функции непрерывны , поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек . Слева и справа от точек функция задается различными аналитическими выражениями.

Пусть .

то есть

поэтому функция непрерывна в точке .

Пусть .

то есть

— точка разрыва 1-го рода (см. определение 5.3). Разрыв — неустранимый, скачок функции равен 1.

Задача №5.10

Исследовать на непрерывность функцию , рис. 5.10.

— точки разрыва функции.

Решение:

— точка разрыва 1-го рода. Разрыв неустранимый, скачок функции равен -2.

— точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.11

Определить тип точек разрыва функции в зависимости от значений параметра .

Решение:

— точка разрыва функции. Найдем .

1. Если , то — точка разрыва 2-го рода.

2. Если , то

— точка устранимого разрыва.

Производная функции

Определение 6.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и существует .

Этот предел называется производной функции в точке и обозначается .

Таким образом:

Обозначим , тогда (6.1) перепишется в виде

Другие обозначения производной:

Задачи с решением:

Задача №6.1

. Найти .

Решение:

По формуле (6.2)

Таким образом, . Аналогично .

Задача №6.2

. Найти .

Решение:

Таким образом, . Аналогично .

Определение 6.2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде

где А — постоянное число, не зависящее от ;

— бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Теорема 6.1. Для того чтобы была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом и формула (6.3) перепишется в виде

Докозательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.

Определение 6.3. Пусть функция дифференцируема в точке

Дифференциалом функции в точке х0 будем называть линейную относительно функцию вида

то есть

Для функции . Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

Теорема 6.2. Если функция была дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.

Теорема 6.3. Пусть функции — дифференцируемы, .

Тогда:

1) также дифференцируема и

2) дифференцируема и

3) дифференцируема в точках, где и

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).

что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)—(6.10), с учетом (6.7), получим

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Задача №6.3

. Найти .

Решение:

Аналогично .

Теорема 6.4. Пусть функции ) дифференцируемы.

Тогда и сложная функция дифференцируема и

Доказательство

Пусть .

что и требовалось доказать.

Задача №6.4

Найти производную .

Решение:

Данная функция представляется как композиция функций

Тогда по формуле (6.11)

Найдем дифференциал функции . По формуле (6.7)

С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала. В формуле (6.12) , в формуле (6.13) -дифференциал функции . Например, для функции

где ,

где .

Задача №6.5

Найти производную функции .

Решение:

Таким образом

Задача №6.6

. Найти .

Решение:

По формуле (6.14)

Задача №6.7

Найти производную функции .

Решение:

Таким образом,

в частности: .

Задача №6.8

. Найти .

Решение:

По формуле (6.9)

Определение 6.4. Пусть функция определена на множестве со значениями во множестве и такова, что если , рис. 6.1. Пусть — множество значений функции . Для такой функции можно определить обратную функцию , определенную на множестве со значениями во множестве по правилу

Если строго монотонна на интервале то удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная , причем если непрерывна, то также непрерывна; если дифференцируема и , то также дифференцируема в точке

и

или

Задача №6.9

Для функции , функция , обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задача №6.10

Для функции , функция обратная, и тогда по формуле (6.16)

Таким образом, .

Аналогично

Сводка формул

Таблица производных

Определение 6.5. Пусть функция непрерывна в точке и

тогда имеет в точке бесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат . Пусть точка движется по плоскости, и траектория ее движения

где t — время, или

где — радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции существует обратная функция (например, когда строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде .

Пусть — точка на кривой (7.1), где

Предположим, что дифференцируемы и .

Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная

Задачи с решением:

Задача №6.11.1

Найти для функции

Решение:

Функция монотонно убывает на промежутке . Для нее обратная: . По формуле (7.2)

Кривая в задаче — параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением . Если из формулы (7.3) исключить t, то получим

что совпадает с производной .

Сводка формул

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция задана неявно в виде

то есть

Дифференцируем уравнение (8.1) по , при этом считаем, что -функция от , получим уравнение, содержащее . Из полученного уравнения выражаем .

Задачи с решением:

Задача №8.1

Найти . для функции , заданной неявно:

Решение:

Рассмотренное в задаче 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: .

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса

то после подстановки и в формулу (8.2), получим формулу (7.3) (см. задачу п. 7.1), .

Задача №8.2

Найдем производную степенно-показательной функции где дифференцируемы и .

Решение:

Геометрический и физический смысл производной

Пусть — прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции (множество точек с координатами . Пусть — точки на графике (рис. 9.1).

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки , тогда

— угловой коэффициент секущей,

и

Определение 9.1. Пусть функция дифференцируема в точке и — ее производная. Касательной к графику функции в точке будем называть прямую, заданную уравнением

Из формулы (9.1) видно, что касательная — предельное положение секущей при .

Действительно, секущая задается уравнением (уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом . Так как выполняется (9.1), то уравнение а пределе при примет вид (9.2).

Таким образом, — угловой коэффициент касательной к кривой в точке (рис. 9.2).

Определение 9.2. Пусть функция имеет в точке хо бесконечную производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции в точке — вертикальная прямая .

Определение 9.3. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.

Если , то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид

(так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением ).

Задачи с решением:

Задача №9.1

. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение:

, поэтому точка лежит на кривой; . Тогда по формуле (9.2)

— уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)

уравнение нормали.

Задача №9.2

. Написать уравнения касательных к кривой, проходящих через точку М.

Решение:

, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)

Так как точка М лежит на касательной, то

поэтому касательные к кривой в точках проходят через точку М.

Тогда из (9.4)

— уравнения касательных.

Упражнение с решением 9.2. Рассмотрим функции ; (см. упражнение 6.6). Написать уравнение касательной и нормали к графикам этих функций в точке .

Рассмотрим точки на графике функции . Тогда по формуле (6.6)

а по формуле (9.2)

приращение касательной, когда приращение независимой переменной равно , поэтому значение равно приращению касательной, рис. 9.3.

Приращение функции отличается от

(см. формулу 6.4), то есть

Задача №9.3

. Рассмотрим точки .

Найти при переходе от

Решение:

В приближенных вычислениях заменяют на и получают формулу

Задача №9.4

Вычислить приближенно .

Решение:

Пусть

Тогда

По формуле (9.6)

Поэтому

Пусть дифференцируема в точке и

— ее производная. (9.7)

Числитель дроби — приращение функции . Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), — мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется прямолинейно и задает время, а — путь, пройденный телом за время t, то — мгновенная скорость в момент времени .

Задача №9.5

Пусть (см. задача 9.3). Тогда

— путь, пройденный телом на промежутке времени [1; 1,1];

— средняя скорость движения на этом промежутке;

— мгновенная скорость в момент времени .

Пусть точка движется в пространстве, и траектория ее движения

где t — время,

или

где — радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) — годограф вектор-функции .

Определение 9.4. Производной векторной функции в точке называется вектор

Вектор задает мгновенную скорость движения точки при ;

направлен по касательной к кривой (9.8) в точке .

Задача №9.6

— траектория движения точки,

Найдем

Решение:

Производные высших порядков

Определение 10.1. Пусть функция дифференцируема и — ее производная. Предположим, что в свою очередь дифференцируема и — ее производная. Она называется второй производной функции и обозначается . Таким образом:

Аналогично,

Другое обозначение для

Задачи с решением:

Задача №10.1

. Найти .

Решение:

(см. упражнение 6.4).

Задача №10.2

Найти -ю производную функции .

Решение:

Таким образом .

Задача №10.3

Найти для функции , заданной неявно:

Решение:

(см. задача 8.1).

Упражнение с решением 10.3. Найти для функции , заданной уравнением

Пусть функция задана параметрически в виде

Пусть дважды дифференцируемы и . Тогда (см. п. 7.2)

первая производная функции .

Рассуждая аналогично п. 7:

— вторая производная функции.

При этом

поэтому формула (10.1) перепишется в виде

Задача №10.4

Найти для функции , заданной параметрически в виде

Решение:

По формуле (7.3)

Далее, по формуле (10.1)

Теорема 10.1. Пусть Функции раз дифференцируемы, тогда

формула Лейбница, где : в частности:

Задача №10.5

. Найти .

Решение:

По формуле (10.3):

остальные слагаемые равны 0.

Далее

поэтому

Определение 10.2. Пусть функция дифференцируема и — ее дифференциал. Зафиксируем и будем рассматривать как функцию одной переменной . Дифференциал от дифференциала функции будем называть вторым дифференциалом этой функции и обозначать . Таким образом:

Аналогично

Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):

To есть

При вычислении приращение независимой переменной берем равным первоначальному приращению .

Задача №10.6

. Найти .

Решение:

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции из задачи 10.6 имеем ;

Тогда для первого дифференциала

но

Таким образом

Если , то для функции верна формула

Если функции раз дифференцируемы, то для верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3). В частности:

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть — подмножество во множестве действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если такое число что выполняется неравенство .

При этом называется верхней (нижней) гранью множества . Наименьшая из всех возможных верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается (латинское supremum (супремум) — наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества X называется точной нижней гранью множества X и обозначается (латинское infimum (инфимум) — наинизшее).

Задачи с решением:

Задача №11.1

Для множества

Для множества

Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество имеет конечные точные верхние и нижние грани и .

Для функции определяются, как — множества значений функции при .

Задача №11.2

При этом , рис 11.2.

Теорема 11.1. (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть такие, что

При этом

Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал или полуинтервал, то она не выполняется.

Например, для из задачи 11.2

не имеет минимума на множестве (-1,1).

Теорема 11.2. (теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то , такая, что .

Задача №11.3

Проверить, что уравнение имеет корень на интервале рис. 11.3.

Решение:

Функция непрерывна .

по теореме 2 , такая что /.

Свойства дифференцируемых функций

Определение 12.1. Функция называется возрастающей в точке , если окрестность этой точки такая, что :

Аналогично определяется убывающая в точке функция.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если окрестность этой точки такая, что , :

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда

Доказательство

Докажем теорему, например, для случая, когда — локальный максимум:

, пусть , тогда (см. определение 12.1)

Пусть , тогда

Из (12.2) и (12.3) следует, что , что и требовалось доказать.

Равенство в теореме 12.1 означает, что касательная к графику функции в точке горизонтальна.

Теорема 12.2. Пусть функция дифференцируема в точке и . Тогда /(х) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство

Докажем для случая . По формуле (6.4)

окрестность , такая что

Если , а для , следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда такая, что .

Доказательство

По теореме 11.1 такие, что

Если — постоянная функция , и поэтому .

Если , то либо max, либо min достигается на . Пусть, например, . Тогда точка удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому , что и требовалось доказать.

Упражнение с решением 12.1. Проверить, удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции (см. упражнение 6.6).

Из теоремы Ролля следует, что между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции имеется хотя бы один корень ее производной.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).

Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию — непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале ; . Поэтому удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть такая, что что и требовалось доказать.

Угловой коэффициент прямой , проходящей через точки , равен . Поэтому формула (12.4) означает, что такая, что касательная к графику функции в точке параллельна прямой , рис. 12.1.

Если задает время и — путь, пройденный телом при движении по прямой за время , то средняя скорость движения тела на промежутке времени и согласно (12.4) такая, что мгновенная скорость тела в момент времени с равна средней скорости.

Задачи с решением:

Задача №11.4.1

Дана кривая и точки на кривой. На интервале (0; 6) найти точку , удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке . Сделать чертеж.

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Уравнение касательной к кривой

(см. задача 9.9), рис. 12.2.

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции :

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию

удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

Правило Лопиталя

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;

2) ;

3) ;

4)

Тогда

Доказательство

Рассмотрим случай . Доопределим в точке :

Тогда они непрерывны . Пусть , тогда no теореме Коши (теорема 12.5)

где

, что и требовалось доказать.

1. Если в п. 4 теоремы 13.1 также равен .

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.

Теорема 13.2. Пусть и функции :

1) дифференцируемы при ;

2) :

3) ;

4)

Тогда

Доказательство

Пусть . Рассмотрим функции . Тогда условия 1)-3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности точки .

Проверим условие 4):

предел существует, поэтому по теореме 13.1

Тогда

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа .

Неопределенности необходимо эквивалентными преобразованиями привести к виду . Неопределенности раскрывают путем предварительного логарифмирования.

Задачи с решением:

Задача №13.1

. Пусть . Функции :

1) непрерывны и имеют производные при ;

поэтому по теореме 13.2

Задача №13.2

Найти .

Решение:

Задача №13.3

Найти .

Решение:

Имеем неопределенность вида .

Преобразуем функцию .

Найдем

Поэтому

Задача №13.4

Найти .

Решение:

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции дифференцируемы в точке , тогда формула (13.1) перепишется в виде

Геометрически это значит, что предел при отношения значений функций равен отношению угловых коэффициентов касательных к этим функциям в точке .

Задача №13.5

Найти (см. Задача 4.2).

Решение:

Формула Тейлора

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение

Пусть , тогда (14.1) перепишется в виде

Рассмотрим многочлен

Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция у n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты многочлена задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.

Теорема 14.1. Пусть функция n раз дифференцируема в точке , тогда

где — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем .

Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде -остаточным членом в форме Пеано.

Если функция , то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.

Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности точки , то остаточный член можно представить в виде

остаточный член в форме Лагранжа и формула

называется формулой Тейлора порядка п с остаточным членом в форме Лагранжа.

Кстати тут, теория из учебников может быть вам поможет она.

Задачи с решением:

Задача №14.1

В условиях задачи 9.4 оценим погрешность вычисления значений .

Решение:

Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

где

Тогда

Поэтому

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Упражнение с решением 14.2. Записать формулу Маклорена второго порядка для функции и по этой формуле вычислить . Оценить погрешность вычислений.

Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции :

(см. упражнение 10.1.

Таким образом, и по формуле (14.6)

Аналогично

Формулы (14.7)—(14.11) называются основными разложениями.

Задача №14.3

Разложить по формуле Маклорена до члена , используя основные разложения. Оценить погрешность при .

Решение:

Пусть . Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

Если ,

поэтому

Таким образом,

и погрешность при меньше чем 0,001, рис. 14.1.

Рис. 14.1. Графики: / -функции у = (1+л“)2 и 2 — ее многочлена Тейлора

Задача №14.4

Найти .

Решение:

Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Основные способы вычисления пределов

Число А называют пределом функции при (или в точке ), если для любого числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначают предел .

Если функции имеют пределы в точке , то:

Функция называется бесконечно малой в точке , если ее предел в этой точке равен нулю: .

Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом записывают .

При нахождении предела в случае, когда являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке , говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида .

Аналогично вводятся неопределенности вида , которые встречаются при нахождении соответственно пределов . Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

При решении задач используют:

а) первый замечательный предел:

б) второй замечательный предел:

или

в) некоторые важные пределы:

г) эквивалентность бесконечно малых функций.

Пусть бесконечно малые функции в точке .

Если , то называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, что обозначается так: .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при х -> а не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией.

При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при :

Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей .

Примеры с решением:

Пример №3.1.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность .

Преобразуем выражение под знаком предела:

Пример №3.2.

Вычислить .

Пример №3.3.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Выделим в числителе и в знаменателе одинаковый множитель . Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители. Имеем:

Пример №3.4.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Пример №3.5.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Используем первый замечательный передел. В нашем случае .

Следовательно, получаем .

Пример №3.6.

Вычислить

Решение:

Имеем неопределенность . Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной бесконечно малой функцией . Получаем

Неопределенности вида преобразуются к неопределенности вида

Пример №3.7.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Приведем две дроби к общему знаменателю:

Пример №3.8.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Преобразуем выражение:

Для раскрытия неопределенности вида применяют второй замечательный предел. Пусть . Тогда имеем

Приходим к неопределенности вида

Пример №3.9.

Вычислить

Пример №3.10.

Вычислить

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функции и имеют производные в некоторой точке , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

Таблица основных производных

Правило дифференцирования сложной функции

Если — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной :

Пример с решением:

Пример №3.11.

Найти производную функции .

Решение:

Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией.

Первый промежуточный аргумент , второй

Так как

Дифференцирование неявных функций

Пусть функция задана уравнением . В этом случае говорят, что функция у задана неявно.

Производная может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной .

Примеры с решением:

Пример №3.12.

Найти производную функции , заданной неявно.

Решение:

Дифференцируем это равенство по , считая, что — функция от : . Отсюда .

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически: .

Пусть — дифференцируемые функции и . Тогда имеем:

Пример №3.13.

Найти производную функции .

Решение:

Находим . Тогда по формуле (3.1) получаем

Дифференцирование степенно-показательной функции

Пусть , где , — дифференцируемые функции по .

Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования.

Пример с решением:

Пример №3.14.

Найти производную функции

Логарифмируем данное равенство по основанию :

Дифференцируя обе части последнего равенства по как сложную функцию получаем:

Откуда находим

или

Производные высших порядков

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной (которую называют первой производной).

Рассмотрим функцию заданную параметрически:

Имеем . Тогда по формуле (3.1) получаем

Пример с решением:

Пример №3.15.

Найти

Решение:

Находим . По формуле (3.1) получаем

Находим

По формуле (3.2) получаем

Исследование функций и построение графиков

Если для двух любых значений аргумента , взятых из области определения функции, из неравенства следует, что

а) функция называется возрастающей;

б) , то функция называется неубывающей;

в) , то функция называется убывающей;

г) , то функция называется невозрастающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция , дифференцируемая на , возрастает (убывает) на тогда и только тогда, когда ; если при этом не существует интервала , такого, что , то строго возрастает (убывает) на .

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции , если существует такая — окрестность точки , что выполняется неравенство

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума: если функция в точке имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Внутренние точки множества в которых непрерывна, а ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .

Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция дифференцируема в некоторой — окрестности критической точки , кроме, может быть самой точки , а при , и при , то в точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке функция дважды дифференцируема и , то в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум).

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на , если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке , где .

Если функция в интервале дважды дифференцируема и , то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый).

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная функции в точке равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то — точка перегиба графика функции .

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат.

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности: .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде — бесконечно малая функция при .

Если существуют пределы: ,

то уравнение определяет наклонную асимптоту.

Если — горизонтальная асимптота.

Построение графика функции

Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию да четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.
4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
6. Построить график функции.

Пример с решением:

Пример №3.16.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Находим область определения .

2. Поскольку , то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как , то график функции не пересекает ось ;

б) при график функции пересекает ось в точке .

3. Функция не определена в точке . Поскольку , , то — точка разрыва второго рода. Так как , то прямая есть вертикальная асимптота.

Далее находим

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота.

4. Вычислим

Первая производная не существует в точке , которая не принадлежит области определения и, следовательно, не является критической точкой.

При получаем или .

Точки являются критическими (стационарными) точками.

Определим интервалы монотонности из неравенств и :

Следовательно, функция возрастает при и убывает при .

В точке функция имеет максимум

В точке функция имеет минимум .

5. Находим

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств . Имеем при при . Следовательно, кривая выпукла на и вогнута на . Так как не принадлежит области определения функции и , то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции заносим в таблицу.

6.Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных и ее предела

Пусть D — множество точек пространства . Если каждой точке по определенному закону ставится в соответствие некоторое число , то говорят, что на множестве D определена функция m переменных .

При этом называются независимыми переменными или аргументами.

Множество D точек X, для которых существует , называют областью определения функции и обозначают а множество значений обозначают .

— функция двух переменных.

Пусть функция определена на множестве D.

Число называют пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение:

Частным приращением по переменной функции в точке называется разность

где — приращение переменной .

Если существует то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается (или

При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

Примеры с решением:

Пример №4.1.

Найти частные производные функции .

Решение:

Имеем

Рассмотрим функцию трех переменных на множестве D.

Полным дифференциалом функции в точке называется главная часть полного приращения функции

линейная относительно приращений переменных — постоянные числа).

Полный дифференциал находят по формуле

где .

Производной по направлению вектора функции в точке называется предел

, если этот предел существует.

Обозначим через направляющие косинусы вектора . Тогда

Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в этой точке:

При этом:

Пример №4.2.

Дана функция , точка , вектор . Найти: а) полный дифференциал , б) производную по направлению вектора , в) градиент функции в точке .

Решение:

Найдем частные производные функции :

Вычислим значения производных в точке М:

а. Находим полный дифференциал функции в точке М по формуле (4.1):

б. Найдем направляющие косинусы вектора . Имеем ,

По формуле (4.2) вычисляем производную :

в. Вычисляем градиент функции в точке М по формуле (4.3):

Частные производные и дифференциал высших порядков

Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке

Частные производные по переменным х, у от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются

Производные называются смешанными производными.

Если смешанные производные непрерывны, то справедливо равенство .

Полным дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается

Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция определена в области D. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), равный , если существует такая — окрестность этой точки, что для всех отличных от точек из этой окрестности имеет место неравенство .

Необходимые условия экстремума. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Если — точка экстремума дифференцируемой функции

Из этой системы уравнений находят стационарные точки. Сформулируем достаточные условия существования экстремума.

Пусть , где -стационарная точка дважды дифференцируемой функции . Тогда:

1) если , то имеет в точке локальный экстремум (при — локальный максимум, при — минимум);

2) если , экстремума в точке нет;

3) если , функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Кстати тут, теория из учебников по математическому анализу.

Пример с решением:

Пример №4.3.

Найти локальные экстремумы функции .

Решение:

Областью определения данной функции является вся плоскость.

Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4):

Решая эту систему, получим две стационарные точки .

Находим частные производные второго порядка: ; . Вычисляем их значения в точках

.

В точке . Тогда имеем . Следовательно, точка не является точкой экстремума.

В точке . Тогда . Так как , то точка — точка локального минимума.

Вычисляем .

Дополнительные задачи и примеры с решениями по всем темам математического анализа

1. Задачи с решением по теме: исследование функций с помощью производных
2. Задачи с решением по теме: неопределенный интеграл
3. Задачи с решением по теме: замена переменной в неопределенном интеграле
4. Задачи с решением по теме: интегрирование по частям в неопределенном интеграле
5. Задачи с решением по теме: интегрирование рациональных дробей
6. Задачи с решением по теме: интегрирование иррациональных функций
7. Задачи с решением по теме: интегрирование тригонометрических выражений
8. Задачи с решением по теме: определенный интеграл
9. Задачи с решением по теме: свойства сумм Дарбу
10. Доказательство с решением по теме: свойства определенного интеграла
11. Задачи с решением по теме: формула Ньютона -Лейбница
12. Задача с решением по теме: замена переменной, интегрирование но частям в определенном интеграле
13. Задачи с решением по теме: несобственные интегралы первою рода
14. Задачи с решением по теме: несобственные интегралы второго рода
15. Определение и теорема по теме: эйлеровы интегралы
16. Задачи с решением по теме: свойства функций B (a,b), Г (a)
17. Задачи с решением по теме: вычисление площадей плоских фигур
18. Задачи с решением по теме: полярная система координат
19. Задачи с решением по теме: длина дуги кривой
20. Задачи с решением по теме: объемы тел
21. Задачи с решением по теме: площадь поверхности вращения

Множества

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,…, X, Y,…, а их элементы — малыми буквами a,b,…,x,y,…

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х € X; запись означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А = {1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так («A включено в В») или («множество В включает в себя множество A»).

Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или А + В). Кратко можно записать или }.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают . Кратко можно записать

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »; — «предложения и равносильны», т. е. из а следует и из следует ;

Например: 1) запись означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

эта запись определяет объединение множеств А и В.

Числовые множества

Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

Между этими множествами существует соотношение

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

Отсюда следует, что (а значит, и m) — четное число, т. е. . Подставив в равенство , получим , т. е. . Отсюда следует, что число п — четное, т. е. п = 2l. Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух соотношений а < b либо b < а.
2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами а и b содержится бесконечное множество действительных чисел x, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < b.

Так, если а < b, то одним из них является число

3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполнено неравенство а < b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

Числа а и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть — любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки называется любой интервал (а; b), содержащий точку . В частности, интервал , называется —окрестностью точки . Число называется центром, а число — радиусом.

Если то выполняется неравенство , или, что то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в -окрестность точки (см. рис. 97).

Функция

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается Говорят еще, что функция f отображает множество X на множество Y.

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу х € X соответствует элемент у € Y. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа , то функцию / называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать y = f(x).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (f) для обозначения зависимости.

Частное значение функции f(x) при х = а записывают так: f(а). Например, если

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром в О(0; 0) (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции у = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x).

Графический способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известны таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функции

1. Функция у = f(х), определенная на множестве D, называется четной, если выполняются условия ; нечетной, если выполняются условия

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.

Например, — четные функции; а — нечетные функции; — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция у = f(х) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: то функция называется возрастающей на множестве , то функция называется неубывающей на множестве , то функция называется убывающей на множестве , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5). Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3;5); монотонна на (1;3).

3. Функцию у =f (х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х € D выполняется неравенство (короткая запись: называется ограниченной на D, если . Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми (см. рис. 101).

4. Функция у = f(х), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что при каждом х € D значение (х + Т) € D и f(x + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами будут также числа m • Т, где m = ±1; ±2,… Так, для у = sin х периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) — это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству .

Обратная функция

Пусть задана функция у = f(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у € Е соответствует единственное значение х € D, то определена функция х = р(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: . Про функции говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение f(х) = у относительно х (если это возможно).

Примеры

1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция
   
2. Для функции , обратной функцией является ; заметим, что для функции , заданной на отрезке [—1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если ).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у = f(x) и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у = f(x) запишется в виде . Это означает, что точка кривой у = f(x) становится точкой кривой . Но точки симметричны относительно прямой у = х (см. рис. 103).

Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция на множестве , причем для соответствующее значение Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у = sin 2x есть суперпозиция двух функций у = sin u и и = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называют следующие функции. 1) Показательная функция На рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

2) Степенная функция . Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105.

3) Логарифмическая функция ; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции у = sinx, у = cos я, у = tgx, у = = ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции у = arcsina:, у = = arccosx, у = arctgi, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

Последовательности

Числовая последовательность

Под числовой последовательностью понимается функция

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде Число называется первым членом (элементом) последовательности, — вторым,…, — общим или п-м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

задают соответственно последовательности

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого п € N выполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности ограничены, —неограничены.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого п выполняется неравенство Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности монотонные, а — не монотонная.
Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (п — 1)-му:

Таким образом, и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность стремится к пределу 1.

Число а называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется неравенство

В этом случае пишут и говорят, что
последовательность (или переменная , пробегающая последовательность ) имеет предел, равный числу а (или стремится к а). Говорят также, что последовательность сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Пример 15.1. Доказать, что

Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности найдется натуральное число N, такое, что для всех п > N выполняется неравенство Оно справедливо для всех , т. е. для всех ,
где — целая часть числа (целая часть числа х, обозначаемая [х], есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [3] = 3, [5,2] = 5).

Если , то в качестве N можно взять .

Итак, указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что

Заметим, что число N зависит от . Так, если , то

если = 0,01, то

Поэтому иногда записывают .
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство (15.2) равносильно неравенствам или , которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых п > N, попадут в -окрестность точки а (см. рис. 109).

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число. Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность (см. с. 128).

Постоянная последовательность имеет предел, равный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для при всех натуральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности .
Теорема 15.1. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

Допустим, что а > b. Из равенств следует, что для любого найдется такое натуральное число , что при всех будут выполняться неравенства т. е. Возьмем . Тогда:

т.е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию Следовательно, .

Теорема 15.2. Если и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то

(Примем без доказательства.)

Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность

По формуле бинома Ньютона

Полагая получим

или

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении п число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому

Итак, последовательность ограничена, при этом для выполняются неравенства (15.4) и (15.5):

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:

Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается In х, т. е.

Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

Пользуясь десятичными логарифмами, находим . Значит, . Из этой формулы следует, что т. е. . Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

Предел функции

Предел функции в точке:

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки .

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по
Гейне). Число А называется пределом функции у = f(x) в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к (т. е. ), последовательность соответствующих значений функции , сходится к числу А (т. е.).

В этом случае пишут . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке е-6», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Записывают . Это определение коротко можно записать так:

Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки А найдется такая «-окрестность точки , что для всех из этой «-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в -окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми (см. рис. ПО). Очевидно, что величина зависит от выбора , поэтому пишут .

Пример 16.1. Доказать, что

Решение: Возьмем произвольное , найдем такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Взяв , видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Следовательно,

Пример 16.2. Доказать, что, если
Решение: Для можно взять Тогда при имеем Следовательно,

Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х
стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число называется пределом функции у = f(x) слева в точке
, если для любого число существует число
такое, что при , выполняется неравенство Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле) (см. рис. 111). Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела и они равны, то существует предел и

Если же не существует.

Предел функции при

Пусть функция у = f(x) определена в промежутке . Число А называется пределом функции f(х) при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x| > М выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:

Если , то пишут , если , то —. Геометрический смысл этого определения таков: для что при соответствующие значения функции f(х) попадают в -окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми (см. рис. 112).

Бесконечно большая функция (б.б.ф)

Функция у =f(х) называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 существует число, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Аналогично определяется б.м.ф. при во всех этих случаях

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами и т. д

Примерами б.м.ф. служат функции при

Другой пример: — бесконечно малая последовательность.
Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Пусть — две б.м. функции при . Это значит, что т. е. для любого , а значит, и найдется число такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Пусть — наименьшее из чисел . Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Таким образом,

Это значит, что

б.м.ф. при

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция f(x) ограничена при. Тогда существует такое число М > 0, что

для всех х из -окрестности точки . И пусть — б.м.ф. при . Тогда для любого , а значит, найдется такое число, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, . А это означает, что произведение есть бесконечно малая функция.
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть Функция может быть представлена в виде произведения б.м.ф. на ограниченную функцию . Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное есть функция бесконечно малая.

Покажем, что функция ограниченная. Возьмем . Тогда, на основании определения предела, найдется , что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство А так как

то

Следовательно,

т. е. функция — ограниченная.

Теорема 17.4. Если функция — бесконечно малая , то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(х) — бесконечно большая, то — бесконечно малая.

Пусть есть б.м.ф. при , т. е.. Тогда

т.е. А это означает, что функция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда , но они справедливы и для случая, когда .

Пример 17.1. Показать, что функция

при является бесконечно малой.

Решение: Так как то функция есть бесконечно малая при . Функция ограничена

Функция представляет собой произведение ограниченной функции (g(х)) на бесконечно малую . Значит, f(x) — бесконечно малая при .

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т. е. если

Пусть . Следовательно,

т. е. Это означает, что функция f(х) — А имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м.ф., которую обозначим через Отсюда

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции f(х), т. е. если то..

Пусть где — б.м.ф. при , т. е.

Тогда

А так как по условию Получаем

А это и означает, что .

Пример 17.2. Доказать, что

Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х — 2 (при ), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х — 2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и , аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы существуют.

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Пусть Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать Следовательно, Здесь — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее пределаи б.м.ф. можно записать т. е.

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Пусть По теореме 17.7 имеем:

Отсюда A — В = 0, т. е. A = В.

Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как то

где — б.м.ф. Следовательно,

т. е.

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

т. е.

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: В частности,

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

следуют соотношения Тогда

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел. Поэтому

Рассмотрим пример.
Пример 17.3. Вычислить

Решение:

Пример 17.4. Вычислить

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на

Пример 17.5. Вычислить

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на

Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому

Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sinx при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция f(х) заключена между двумя функциями , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого существуют две окрестности точки , в одной из которых выполняется неравенство т. е.

а в другой т. е.

Пусть — меньшее из чисел . Тогда в -окрестности точки выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства

Мы доказали, что

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции , функция f(х) «следует за милиционерами».

Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция f(х) монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность , имеет предел.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11)

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113). Пусть На рисунке |АМ| = sinx, дуга MB численно равна центральному углу х, |BC| = tgx. Очевидно, имеем На основании соответствующих формул геометрии получаем Разделим неравенства на , получим

Так как по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь х < 0. Имеем , где -х > 0. Поэтому

Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11).

Пример 17.6. Найти

Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим Зх = t тогда при , поэтому

Пример 17.7. Найти

Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел, равный е (см. (15.6)):

Докажем, что к числу е стремится и функция

1.Пусть Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: , где— это целая часть x;. Отсюда следует

поэтому

Если Поэтому, согласно (17.14), имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть Сделаем подстановку тогда

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить оно запишется в виде

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

Пример 17.8. Найти

Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, Имеем

Эквивалентные бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть есть б.м.ф. при , т. е.

1. Если называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. Если называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. Если не существует, то называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при

Пример 18.1. Сравнить порядок функций при .

Решение: При это б.м.ф. одного порядка, так как

Говорят, что б.м.ф. одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

Пример 18.2. Являются ли функции б.м.ф. одного порядка при ?

Решение: При функция есть б.м.ф. более высокого порядка, чем , так как В этом случае б.м.ф. стремится к нулю быстрее, чем .

Пример 18.3. Сравнить порядок функций при .

Решение: Так как

то есть б.м.ф. более низкого порядка, чем .

Пример 18.4. Можно ли сравнить функции при ?

Решение: Функции при являются несравнимыми б.м.ф., так как предел не существует.

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. Если , то называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так: Например, , т. к. при

Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Пусть при . Тогда

Очевидно также, что

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Пусть при . Тогда

аналогично

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. есть бесконечно мал ал высшего порядка, чем — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

Аналогично, если

Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем теорему для двух функций. Пусть при , причем — б.м.ф. высшего порядка, чем , т. е.

Тогда

Следовательно, при .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример 18.5. Найти предел

Решение:

поскольку

Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов:

Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 18.6. Покажем, что

Решение:

Пример 18.7. Найдем

Решение: Обозначим arcsinx = t. Тогда x = sint и

Поэтому

Следовательно,

Пример 18.8. Покажем, что

Решение: Так как

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

Пример 18.9. Найти

Решение: Так как tg 2х ~ 2х, sin Зх ~ Зх при , то

Пример 18.10. Найти

Решение: Обозначим следует . Поэтому

Пример 18.11. Найти

Решение: Так как arcsin(x — 1) ~ (х — 1) при , то

Приближенные вычисления

Если , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т. е. , получим приближенное равенство .

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Например, графики функций у = tgx и у = х в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у = sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

Пример 18.12. Найти приближенное значение для ln 1,032.

Решение: Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что

Непрерывность функций

Непрерывность функции в точке:

Пусть функция у = f(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1. функция f(x) определена в точке и в ее окрестности;
2. функция f(x) имеет предел при ;
3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как , то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Например, В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции .

Пример 19.1. Вычислить

Решение:

Отметим, что

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (а; b). Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается («дельта х»): . Отсюда

Разность соответствующих значений функций называется приращением функции f(x) в точке и обозначается

(см. рис. 119).

Очевидно, приращения могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = f(х) называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin x.

Решение: Функция у = sin х определена при всех Возьмем произвольную точку х и найдем приращение :

Тогда

так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у = sin x непрерывна в точке х. Аналогично доказывается, что функция у = cosx также непрерывна.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у = f(х) называется непрерывной в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и в точке х = а непрерывна справа , а в точке х = b непрерывна слева

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если — точка разрыва функции у = f(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .

Например, функция не определена в точке (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела f(x) при . Например, функция

определена в точке (f(2) = 0), однако в точке имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при :

3.Функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке :

Например, функция (см. рис. 122)

Здесь — точка разрыва:

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции у = f(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции у = f(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). — точка разрыва второго рода.
2. Для функции
   
   является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0| = 1.
3. Для функции
   
   является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) = 1 (вместо g(х) = 2) при х = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример 19.3. Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение: Функция f(х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 3. Очевидно, Следовательно, Поэтому в точке х = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 — (-1) = 2.

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Пусть функция непрерывны на некотором множестве X и — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак, что и доказывает непрерывность функции в точке .

Теорема 19.2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция у = f(u) непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
В силу непрерывности функции т. е. при имеем Поэтому вследствие непрерывности функции имеем:

Это и доказывает, что сложная функция непрерывна в точке .
Теорема 19.3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [а; b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cos х = 0, т. е. кроме значений

Функции arcsin x;, arctg x , arccosx, arcctg x , в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример 19.4. Найти

Решение: Функция непрерывна в точке , поэтому

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], принимает свое наибольшее значение М в точке, а наименьшее m— в точке . Для любого имеет место неравенство
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и принимает на его концах неравные значения то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124). Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f(с) = С. Прямая у = С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(с) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x) = 0.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а; b], а в интервале (а; b), либо функция на отрезке [a; b] имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.

Пример 19.5. Определить с точностью до корень уравнения принадлежащий отрезку [0; 1], применив метод половинного деления.

Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).

Шаг 1. Вычисляем

Шаг 2. Вычисляем

Шаг 3. Вычисляем у = f(x). Если f(x) = 0, то х — корень уравнения.

Шаг 4. При если , то полагаем иначе полагаем

Шаг 5. Если то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ) принимается величина Иначе процесс деления отрезка [а; b] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.

В результате произведенных действий получим: х = 0,29589.

Производная функции

Задачи, приводящие к понятию производной:

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени (— приращение времени) точка займет положение , где ( — приращение расстояния) (см рис 127). Таким образом, перемещение точки М за время будет

Отношение выражает среднюю скорость движения точки за время :

Средняя скорость зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и (см. рис. 128).

Прямую , проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке .

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке М(х ; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где — угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку графика с абсциссой ; секущую (см. рис. 129). Обозначим через — угол между секущей и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая , поворачиваясь около точки М,
переходит в касательную. Угол

Следовательно,

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:

• если Q = Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

• если N = N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

• если m = m(x) — масса неоднородного стержня между точками 0(0; 0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по х» и т. д.).

Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция у = f(х) определена на некотором интервале (а; b). Проделаем следующие операции:

• аргументу х дадим приращение
• найдем соответствующее приращение функции:
• составим отношение приращения функции к приращению аргу-мента:
• найдем предел этого отношения при

Если этот предел существует, то его называют производной функции f(x) и обозначают одним из символов

Производной функции у = f(х) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению

Производная функции f(х) есть некоторая функция f'(x), произведенная из данной функции.

Функция у = f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (а; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у = f(x) в точке обозначается одним из символов:

Пример 20.1. Найти производную функции у = С, С = const.

Решение:

• Значению х даем приращение ;
• находим приращение функции

• значит,

• следовательно,

Пример 20.2. Найти производную функции .

Решение:

• Аргументу х даем приращение ;
• находим

• составляем отношение

• находим предел этого отношения:

Таким образом,

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

Это равенство перепишем в виде, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщал, можно сказать, что если функция у = f(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная у’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной Это равенство перепишем в виде т.е. производная f'(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания М имеет координаты (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ).

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х.

Следовательно, существует предел .

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем то есть

Переходя к пределу, при получаем . А это и означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке х = 0, но не дифференцируема в ней.

Действительно, в точке х = 0 имеем

Отсюда следует, что не существует, т. е. функция не имеет производной в точке х = 0, график функции не имеет касательной в точке O(0; 0).

Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции в точке х = 0: В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно

Если то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.

2.Производная у’ = f'(х) непрерывной функции у = f(x) сама не обязательно является непрерывной.

Если функция у =f(х) имеет непрерывную производную у’ = f'(х) в некотором интервале (а; b), то функция называется гладкой.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции и = и(х) и v = v(x) — две дифференцируемые в некотором интервале (а; b) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и ± v)’ = и’ ± v’.
Обозначим у = и ± v. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Пусть у = uv. Тогда

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому и при .

Можно показать, что:

Теорема 20.4. Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть Тогда

Следствие 20.1.

Следствие 20.2.

Производная сложной и обратной функций

Пусть , тогда — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 20.5. Если функция имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке х, которая находится по формуле

По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем или

где при

Функция имеет производную в точке х: поэтому

Подставив значение в равенство (20.6), получим

т. е.

Разделив полученное равенство на и перейдя к пределу при , получим

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если

Пусть — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6. Если функция у = f(х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию . Дадим аргументу у приращение . Ему соответствует приращение обратной функции, причемв силу строгой монотонности функции у = f(х). Поэтому можно записать

Если , то в силу непрерывности обратной функции приращение . И так как то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

Пример 20.3. Найти производную функции

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции

Решение: Обратная функция имеет производную

Следовательно,

Производные основных элементарных функций

Степенная функция

Дадим аргументу х приращение . Функция получит приращение По формуле бинома Ньютона имеем

Тогда

Находим предел составленного отношения при :

Таким образом,

Например,

Ниже (см. замечание нас. 175) будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом (а не только натуральном).

Показательная функция

Найдем сначала производную функции . Придав аргументу х приращение , находим приращение функции

Стало быть, и

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью

Итак, , т. е.

Теперь рассмотрим функцию Так как , то по формуле производной сложной функции находим:

Таким образом,

Пример 20.5. Найти производную функции

Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

Логарифмическая функция

Найдем сначала производную функции Для нее

Переходя к пределу при и воспользовавшись эквивалентностью получаем:

т. е.

Теперь рассмотрим функцию

Так как то

Таким образом,

Пример 20.6. Найти производную функции

Решение:

Производную логарифмической функции можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является , то по формуле производной обратной функции имеем:

Тригонометрические функции у = sin х, у = cos x, у = tgx, у = ctgx

Для функции у = sin х имеем:

Переходя к пределу при и воспользовавшись первым замечательным пределом получаем

т. е.

Найдем производную функции у=cosx, воспользовавшись формулой производной сложной функции:

Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx воспользуемся формулой производной частного:

Проделав аналогичные операции, получим формулу

Этот результат можно получить иначе:

Пример 20.7. Найти производную функции у = cos 2х.

Решение:

Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx

Пусть у = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = sin у, . На интервале верно равенство

По правилу дифференцирования обратных функций

где перед корнем взят знак плюс, так как cos у > 0 при

Итак,

Аналогично получаем, что Эту формулу можно получить проще: так как т. е. то

Найдем производную функции у = arctgx.

Она является обратной к функции

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

Итак,

Функции arctg х и arcctg х связаны отношением

Дифференцируя это равенство, находим

Пример 20.8. Найти производные функций:

Решение:

Замечание: Найдем производную степенной функции с любым показателем В этом случае функция рассматривается для х > 0.

Можно записать По правилу дифференцирования сложной функции находим

Формула остается справедливой и для x< 0, если функция существует:

при всех

Пример 20.9. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение: Находим у’:

т. е. Подставляем значение у’ в данное уравнение:

Функция удовлетворяет данному уравнению.

Гиперболические функции и их производные

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

—гиперболический синус;

—гиперболический косинус («цепная линия»);

— гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число.

На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функций. Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).

Найдем производные гиперболических функций:

Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «и».

Правила дифференцирования

Формулы дифференцирования

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

Пример 20.10. Найти производную функции

Решение:

Надо стараться обходиться без лишних записей.

Пример 20.11. Найти производную функции

Решение:

Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

Пример 20.12. Найти производную функции

Решение: Коротко:

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: Производную сложной функции найдем по правилу (здесь промежуточных аргументов три):

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функция

Неявно заданная функция:

Если функция задана уравнением у = f(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; у) = 0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно записать как неявно заданную уравнением f(х) — у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например,

Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство Из полученного соотношения

следует, что

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную , считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х = x(t) имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример 21.2. Пусть Найти .

Решение: Имеем Следовательно, т.е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 22.1. Найти производную функции

Решение: Можно найти у’ с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

Дифференцируем это равенство по х:

Выражаем у’:

т. е.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция , где и = и(х) и v= v(x) — заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:

т. е.

или

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = const, и производной степенной функции, при условии v = const.

Пример 22.2. Найти производную функции

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

Производные высших порядков

Производные высших порядков явно заданной функции:

Производная у’ = f'(x) функции у = f(x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция f'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у» (или . Итак, у» = (у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» . Итак, у'» = (у»)’.

Производной п-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (п — 1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( — производная пятого порядка).

Пример 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у= sinx.

Решение:

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная равна скорости точки в данный момент времени:

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент — скорость равна , т. е. за промежуток времени скорость изменилась на величину .

Отношение — выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой a: т. е. V’ = a.

Но Поэтому

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f(х) задана неявно в виде уравнения F(x, y) = 0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у’, найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у’ . Подставляя уже найденное значение у’ в выражение второй производной, выразим у» через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 23.2. Найти у'», если

Решение: Дифференцируем уравнение . Отсюда Далее имеем: т. е.

следовательно,

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f(х) задана параметрическими уравнениями

Как известно, первая производная находится по формуле

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

т. е.

Аналогично получаем

Пример 23.3. Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (23.1)

Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти можно по преобразованной формуле (23.2):

запоминать которую вряд ли стоит.

Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля производную Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать где при , или

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции.

Дифференциалом функции у =f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или :

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как у’ = х’ = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

Пример 24.1. Найти дифференциал функции

Решение: По формуле dy = f'(x) dx находим

Пример 24.2. Найти дифференциал функции

Вычислить dy при x = 0, dx = 0,1.
Решение:

Подставив х = 0 и dx = 0,1, получим

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у = f(x) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис. 138). На рисунке Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение . В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy = f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у = с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем Но Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы видим, что первый дифференциал функции у = f(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула по внешнему виду совпадает с формулой но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря,

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например,

Таблица дифференциалов

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции у =f(х) в точке х можно представить в виде при Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство

причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

Пример 24.3. Найти приближенное значение приращения функции

Решение: Применяем формулу (24.3):

Итак,

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :

Абсолютная погрешность приближения равна

Подставляя в равенство (24.3) значения и dy, получим

или

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 24.4. Вычислить приближенно arctg 1,05.

Решение: Рассмотрим функцию f(х) = arctgx. По формуле (24.4) имеем:

т.е.

Так как получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины , где М — наибольшее значение |f»(x)| на сегменте (см. с. 196).

Пример 24.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой

При t = 10 с и находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m = 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела

Дифференциалы высших порядков

Пусть у = f(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(х) dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = f(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается

Итак, по определению Найдем выражение второго дифференциала функции у = f(х).

Так как не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

т.е.

Здесь обозначает

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка:

Отсюда находим, что В частности, при п = 1, 2, 3 соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у = f(x), где х — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения получаем:

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое

Ясно, что если х — независимая переменная, то

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

Пример 24.6. Найти , если — независимая переменная.

Решение: Так как то по формуле (24.5) имеем

Пример 24.7. Найти , если — независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

то

Другое решение: Следовательно, Тогда по формуле (24.5)

Исследование функций при помощи производных

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях:

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а) = f (b), то найдется хотя бы одна точка с € (а; b), в которой производная f'(х) обращается в нуль, т. е. f'(с) = 0.

Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по теореме 19.4), соответственно, М и m. Если М = m, то функция f(х) постоянна на [а; b] и, следовательно, ее производная f'(х) = 0 в любой точке отрезка [а; b].

Если то функция достигает хотя бы одно из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f(a) = f(b).

Пусть, например, функция принимает значение М в точке х = с € (а; b), т.е. f(с) = М. Тогда для всех х € (а; b) выполняется соотношение

Найдем производную f'(х) в точке х = с:

В силу условия (25.1) верно неравенство Если (т. е. справа от точки х = с), то

Если , то

Таким образом, f'(с) = 0.

В случае, когда f(с) = m, доказательство аналогичное.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у = f(х) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.

Теорема 25.2 (Коши). Если функции непрерывны на отрезке [а; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

Отметим, что так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема на интервале (а; b), так как является линейной комбинацией функций ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a) = F(b) = 0.

На основании теоремы Ролля найдется точка такая, что F'(c) = 0. Но , следовательно,

Отсюда следует

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим

Подставляя эти значения в формулу получаем

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a; b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде

где а<с<b. Отношение есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f'(с) — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=с.

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции у = f(х) найдется точка С(с; f(c)) (см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Пусть f'(х) = 0 для . Возьмем произвольные из (а; b) и пусть . Тогда по теореме Лагранжа такая, что Но по условию f'(х) = 0, стало быть, f'(с) = 0, где Поэтому имеем т.е. . А так как — произвольные точки из интервала (а; b), то имеем f(х) = с.

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Пусть при . Тогда Следовательно, согласно следствию 25.1, функция есть постоянная, т. е.

Пример 25.1. Доказать, что

Решение: Пусть f(х) = arcsin x + arccos x. Тогда ) имеем

Отсюда следует, что f(х) = С, т. е. arcsin х+arccos х = С. Положив х = 0, находим

Поэтому Это равенство выполняется и при х = ±1 (проверьте!). •

Аналогично доказывается, что

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку будем иметь

Каждое число можно записать в виде где (действительно,

положим ). Формула (25.3) примет вид

где .

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства Сделаем это, считая, что функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f»(x):

где (рис. 143).

Итак, Пусть Так как то получаем оценку

Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида , который основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: Пусть в окрестности точки . Если существует предел

Применим к функциям теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогдагде с лежит междуи х (рис. 144). Учитывая, что получаем

При , величина с также стремится к; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Так как Поэтому

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции не определены при , но

Достаточно положить

2.Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , получим

3.Если производные удовлетворяют тем же условиям, что и функции , теорему 25.4 можно применить еще раз:

и т.д.

Пример 25.2. Найти

Решение:

Пример 25.3. Найти

Решение:

Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида .

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо (кроме, может быть, точки хо), в этой окрестности Если существует предел

Пример 25.4. Найти

Решение:

2-й способ:

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида которые называют основными. Неопределенности вида сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1.Пусть Тогда очевидны следующие преобразования:

Например,

2.Пусть Тогда можно поступить так:

На практике бывает проще, например,

3.Пусть или или Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение

Пример 25.5. Найти

Решение: Имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: Затем находим предел:

Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой

(использовано основное логарифмическое тождество:).

Пример 25.6. Найти

Решение:

Пример 25.7. Пусть

Найти f'(x). (Дополнительно: найти .)

Решение: При имеем

При х = 0 по определению производной:

Делаем замену применяем правило Лопиталя

Таким образом,

Аналогично можно показать, что

Возрастание и убывание функций

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f(x) возрастает (убывает), то

Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a; b). Возьмем произвольные точки на интервале (a; b) и рассмотрим отношение Функция f(x) возрастает, поэтому если если В обоих случаях так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

Аналогично рассматривается случай, когда функция f(х) убывает на интервале (a; b).

Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой ) параллельны оси Ох.

Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция f(х) дифференцируема на интервале (а; b) и f'(х) > 0 (f'(х) < 0) для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b).

Пусть f'(x) > 0. Возьмем точки из интервала (а; b), причем Применим к отрезку теорему Лагранжа:

По условию Следовательно,

т. е. функция f(х) на интервале (а; b) возрастает.

Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).

Пример 25.8. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Решение: Функция определена на Ее производная равна:

Ответ: данная функция возрастает на интервалах убывает на интервале (-1; 1).

Максимум и минимум функций

Точка хо называется точкой максимума функции у = f(x), если существует такая -окрестность точки , что для все из этой окрестности выполняется неравенство

Аналогично определяется точка минимума функции: — точка минимума функции, если

На рисунке— точка минимума, а точка — точка максимума функции у = f(х)

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

Пусть, для определенности, — точка максимума. Значит, в окрестности точки выполняется неравенство

Но тогда если . По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при , получим , если , и , если . Поэтому . Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если — точка минимума функции f(x).

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у = f(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если , то это не значит, что— точка экстремума. Например, для функции ее производная равна нулю при х= 0, но х = 0 не
точка экстремума (см. рис. 148).

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 149).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у = f(х) дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная f‘(х) меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то — точка минимума.

Рассмотрим -окрестность точки . Пусть выполняются условия:

Тогда функция f(х) возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение f(х) в точке является наибольшим на интервале для всех . Это и означает, что — точка максимума функции.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 представлена на рисунке 150.

Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции у = f(x);
2. выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
3. исследовать знак производной f'(х) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
4. в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример 25.9. Найти экстремум функции

Решение: Очевидно, D(y) = R. Находим

Производная не существует при и равна нулю при Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала Отметим на рисунке 151 знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.

Следовательно, — точка максимума, и — точка минимума,

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема 25.10. Если в точке первая производная функции f(x) равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля , то при в точке функция имеет максимум и минимум — при .
Пусть для определенности . Так как

то в достаточно малой окрестности точки . Если

Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, есть точка минимума.
Аналогично доказывается, что если, то в точке функция имеет максимум.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a; b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т. е. при Если , то точку хо следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а; b]:

1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках
   х = а и х = b;
4. среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция у = f(х) на отрезке [a; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 (нб — наибольшее, max — максимальное).

2.Если функция у =f(х) на отрезке [a;b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) — на другом.

Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 1].

Решение: Находим критические точки данной функции:

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу.

Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?
Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, , а потому объем цилиндра

где

Находим наибольшее значение функции V = V(x) на промежутке [0; 2R]. Так как

кроме Поэтому — точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный ) при диаметр основания цилиндра равен

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную и
диаметр, равный

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = f(х) называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у = f(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у = f(х) выпукла вверх в интервале (a;с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М(с;f(с)) — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 25.11. Если функция у =f(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f»(x) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f»(х) > 0 — график выпуклый вниз.

Пусть f»(х) < 0 . Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой хо и проведем через М касательную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен нижe этой касательной. Для этого сравним в точке ординату у кривой у = f(x) с ординатой ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

По теореме Лагранжа, где с лежит между и х. Поэтому

т. е.

Разность снова преобразуем по формуле Лагранжа:

где лежит между и с. Таким образом, получаем

Исследуем это равенство:

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при f»(x) > 0 график выпуклый вниз.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f»(х) при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой хо есть точка перегиба.
Пусть f»(х) < 0 при и f»(х) > 0 при . Это значит, что слева от график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если f»(х) > 0 при и f»(х) < 0 при , то точка — точка перегиба графика функции y = f(x).

Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции
Решение: Находим, что Вторая производная существует на всей числовой оси; у» = 0 при х = 0. Отмечаем, что у» > 0 при х > 0; у» < 0 при х < 0. Следовательно, график функции в интервале — выпуклый вверх, в интервале — выпуклый вниз. Точка (0; 5) есть точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 81).

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у =f(х), если , или , или

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х; у) кривой от прямой х = а равно d = |х — a|. Если Согласно определению асимптоты, прямая х = а является асимптотой кривой у = f(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция f(х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (см.рис. 157) х = — 1, так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

Найдем k и b.

Пусть М(х; у) — произвольная точка кривой у = f(x) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой находим расстояние от точки М до прямой (25.5)

Условие будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.

Отсюда следует, что бесконечно малая: Разделив обе части равенства и перейдя к пределу при, получаем:

Так как то

Из условия (25.6) находим b:

Итак, если существует наклонная асимптота находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у = f(x) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если . Поэтому у = b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у = f(x) при могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда

Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Так как то график функции при наклонной асимптоты не имеет. При справедливы соотношения

Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции у = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x) > 0 или f(х) < 0).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции.
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1,2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 25. 14. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схемы исследования.

1. Функция не определена при х = 1 и х = — 1. Область ее определения состоит из трех интервалов а график из трех ветвей.
2. Если х = 0, то у = 0. График пересекает ось Оу в точке О(0; 0); если у = 0, то х = 0. График пересекает ось Ох в точке О(0; 0).
3. Функция знакоположительна (у > 0) в интервалах и (0;1); знакоотрицательна— в (—1;0) и .
4. Функция является нечетной, т. к.

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при

5. Прямые х = 1 и х = —1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0. Прямая у = 0 является асимптотой и при , и при

6.Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

то у’ > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

7. Исследуем функцию на экстремум. Так как то критическими точками являются точки (у’ не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

8.Исследуем функцию на выпуклость. Находим у»:

Вторая производная равна нулю или не существует в точках На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.

Точка О(0,0) — точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах ); выпуклый вниз на интервалах .

График функции изображен на рисунке 160.

Формула Тейлора

В определении функции у =f(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у = sin x, у = lп(1 +х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=f(х), ее заменяют многочленом степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция f(х) есть многочлен степени п:

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относительно разности где — произвольное число, т. е. представим в виде

Для нахождения коэффициентов продифференцируем п раз равенство (26.1):

Подставляя в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени по степеням ():

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена степени п.

Пример 26.1. Разложить многочлен по степеням х + 1.

Решение: Здесь

Поэтому

Следовательно,

т. е.

Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у =f(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию f(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция f(х) определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции f(х). Эту формулу можно записать в виде где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у = f(х) многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена.

При получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х

При п = 0 формула Тейлора (26.3) имеет вид или т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0,001.

Решение: Запишем формулу Маклорена для функции . Находим производные этой функции: .

Так как

то по формуле (26.4) имеем:

Положим х = 1:

Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что остаточный член меньше 0,001. Так как

Поэтому при п = 6 имеем

Итак, получаем приближенное равенство

Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:

Дополнительные лекции:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Интегральное исчисление функций одной переменной
153. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
154. Отношение в математике
155. Математическая логика
156. Графы в математике
157. Линейные пространства
158. Первообразная и неопределенный интеграл
159. Линейная функция
160. Выпуклые множества точек
161. Система координат